Толчок вдоль поезда
Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов
А.
Каждый из вас наверняка наблюдал, как быстро передается вдоль состава от вагона к вагону толчок подаваемого паровоза. Удар! – и грохот проносится вдоль состава, через секунду раздаваясь уже в хвосте поезда, хотя паровоз толкнул первый вагон с очень малой скоростью, почти нежно.
Схема движения
[/URL]
Рис. 45. Схема движения
В этом нет ничего удивительного. Пусть вагоны длиной l метров каждый стоят в составе так, что зазор между ними равен Δ метрам (рис. 45; буфера для простоты не показаны). Если паровоз подходит к составу со скоростью ν, то второй вагон получит толчок от первого через время t1 = Δ/ν после столкновения паровоза с первым вагоном, (n + 1)-й от n-го – через время tn = nΔ/v, т.е. толчок за время tn распространится на расстояние ln = n(l + Δ). Следовательно скорость распространения толчка вдоль состава будет равна
vn = ln/tn = n(l + Δ)/nΔ/v = v(l+Δ)/Δ.
Пример: длина вагона l = 10 м, расстояние между буферами Δ = 0,05 м, скорость паровоза v = 0,5 м/с. Скорость распространения толчка
vn = v(l + Δ)/Δ ≈ vl/Δ = 0,5·10/0,05 = 100 м/с
оказывается превосходящей скорость паровоза в 200 раз!
После этих довольно длинных приготовлений мы попросим вас повторить вычисления для случая, когда на рельсах стоит состав с такими фантастическими размерами: длина каждого вагона l = 1 км, зазор между вагонами Δ = 0,1 мм. И пусть на этот состав на полном ходу налетает паровоз, скорость которого равна 40 м/с. Как быстро передается толчок по составу в этом случае?
Б.
Многие из решающих задачу находят удивительными только условия задачи и ничуть не удивляются ее результату. Между тем в условиях задачи нет ничего невозможного: вагон длиной в 1 км можно построить, зазоры между вагонами в 0,1 мм можно создать, паровоз может налететь на состав со скоростью 40 м/с. Удивительным является другое:
vn = vl/Δ = 40·1000/0,0001 = 400 млн м/с!!!
Эта цифра выше скорости света (которая равна 300 млн м/с). Но ведь Эйнштейн утверждает, что ничто не может двигаться со скоростью, большей скорости света. Так где же тут ошибка? Или ошибки нет? Может быть, ошибается Эйнштейн?
Сомневаться в выводах Эйнштейна ни у кого не хватает смелости, поэтому все стремятся найти ответ, согласованный с Эйнштейном. Нужно отдать должное: во многих ответах содержатся рассуждения, достойные того, чтобы о них поговорить. Так, например, ученик Н. после глубокого раздумья разрешил этот парадокс так. Поскольку закон сохранения энергии должен быть соблюден и поскольку при столкновении часть кинетической энергии паровоза передается вагону, то скорость вагона и паровоза оказывается ниже, чем первоначальная скорость паровоза. После столкновения со вторым вагоном общая скорость двух вагонов и паровоза будет еще ниже, и т.д. Если все это учесть, то окажется, что толчок распространяется по поезду со скоростью, меньшей скорости света, и, следовательно, ничего сверхъестественного не происходит.
Допустим, что паровоз делится кинетической энергией с вагоном действительно так, как предположил ученик Н. Тогда в рамках предложенного примера действительно не будет сверхсветовой скорости. Но это только временная передышка, а не ответ на задачу. Ведь можно представить, что паровоз мчится со скоростью, в десять раз большей. Можно также предположить, что масса паровоза в сотни раз больше массы вагона (паровоз длиной в 100 км!). Тогда из огромных запасов его кинетической энергии только ничтожная часть израсходуется на придание нужной скорости первым вагонам, и, следовательно, хотя бы по первому десятку вагонов толчок будет передаваться со сверхсветовой скоростью! Кроме того, толчок по составу может передаваться не совсем так, как полагает ученик Н.
Если один бильярдный шар сталкивается с другим точно по центру, то он сам останавливается и полностью (или почти полностью) передает свою кинетическую энергию второму шару, а не делится с ним поровну. Удар по цепочке шаров передается так, что последний шар отскакивает почти с той же скоростью, с какой налетел ударяющий шар на первый, а все остальные остаются неподвижными. Если предположить, что толчок по составу передается так же, как по цепочке шаров, то и в рамках предложенного примера скорость передачи толчка окажется сверхсветовой.
Движение точки
[/URL]
Рис. 46. Движение точки
Оригинальный ответ дал ученик В. Он сказал, что поскольку и паровоз, и каждый из вагонов движутся со скоростью, не превосходящей 40 м/с, то нигде постулат Эйнштейна не нарушается. А то, что толчок движется по составу с такой огромной скоростью, удивляет его не более, чем то, что точка E пересечения двух прямых AB к CD (рис. 46) при вращении прямой CD вокруг точки C тоже движется вдоль прямой AB со сверхсветовой скоростью в то время, когда прямая CD становится параллельной (или почти параллельной) прямой AB. И вагоны, и прямая CD движутся с нормальными, вполне возможными скоростями, а толчок, так же как и точка E, является нематериальным понятием, и, следовательно, они и не обязаны подчиняться постулату Эйнштейна.
Должен вас разочаровать: и этот ответ, несмотря на его некоторую эффектность, неправилен. Точка пересечения прямых E действительно может двигаться со сверхсветовой скоростью, потому что она является только математическим понятием, не содержащим в себе ни массы, ни энергии. Толчок же представляет собой физическое явление; вместе с толчком переносится энергия. Можно, например, в конце состава между буферами поместить орех (или инфузорию, если зазор маловат для ореха), и он толчком будет расколот. На это будет израсходована энергия. Откуда она взялась? Пришла от паровоза. Со сверхсветовой скоростью? Но энергия не может распространяться со сверхсветовой скоростью!
Надо отметить, что многие дают и правильный ответ. Однако мы приведем пока только его начало: при выводе формулы для скорости распространения толчка были допущены упрощения, вполне приемлемые при длине вагона 10 м и величине зазора 5 см, но совершенно недопустимые при длине вагона 1 км и зазоре 0,1 мм. Найдите эти упрощения, приведшие к ошибке.
В.
При выводе формулы мы молчаливо предполагали, что в момент толчка весь вагон от начала до конца приходит в движение одновременно, т.е. что вагон является абсолютно твердым телом. Только это дает нам право считать, что через время Δ/v после удара паровоза о первый вагон произойдет удар первого вагона о второй. Но предположение, что весь вагон одновременно приходит в движение, равносильно предположению, что толчок вдоль вагона распространяется мгновенно, т.е. с бесконечно большой скоростью. На самом деле толчок со стороны паровоза приводит в движение сначала только переднюю часть вагона, в то время как остальная часть остается неподвижной. В результате передняя часть вагона вынуждена сжаться. После сжатия эта часть, как пружина, распрямляется, заставляя двигаться следующую, более далекую, часть вагона. Поскольку еще более далекие части все еще неподвижны, то эта «вторая» часть тоже вынуждена сжаться. Распрямляясь, она приводит в движение еще более далекий участок, и т.д. (Конечно, деление вагона на первую, вторую и т.д. части весьма условно. Мы прибегаем к нему для того, чтобы обойтись без высшей математики.) В результате толчок проходит вдоль вагона с некоторой конечной скоростью, определяемой свойствами материала, из которого сделан вагон. Эта скорость равна скорости звука в данном материале*. Скорость продольных звуковых волн в стали, например, равна vзв = 5000 м/с.
* Вообще говоря, передача деформации – результат электромагнитных взаимодействий атомов. И, следовательно, скорость передачи взаимодействия не может быть больше световой, а инерция атомов делает ее существенно меньшей (сравните с задачей «Да будет свет!»).
С учетом времени распространения толчка вдоль вагона оказывается, что второй вагон получит толчок через время t1' = l/vзв + Δ/v.
При выводе первоначальной формулы мы пренебрегли первым слагаемым и допустили при этом незначительную ошибку, потому что в первом примере
l/vзв = 10/5000 = 0,002 с << Δ/v = 0,05/0,5 = 0,1 с.
Во втором же примере
l/vзв = 1000/5000 = 0,2 с >> Δ/v = 0,0001/40 = 0,0000025 с.
Здесь следовало бы пренебречь вторым слагаемым (т.е. именно тем, которое мы учитывали) и учесть первое (которым мы пренебрегли). И тогда скорость распространения толчка вдоль состава будет равна просто звуковой скорости в материале вагонов, а о сверхсветовой скорости не может быть и речи*.
* Полезно разобрать другой аналогичный пример. Из пункта А в пункт Б проложен водопровод длиной 60 км. Труба заполнена водой, но в пункте А вентиль закрыт, и поэтому вода в трубе находится без движения. Откроем вентиль А. Как быстро придет в движение вода в пункте Б? Казалось бы, мгновенно. На самом же деле понадобится время, равное времени распространения звуковой волны в воде (со скоростью vзв ≈ 1,5 км/с) tзв ≈ 60/1,5 = 40 с. Однако данная конкретная капля воды из А (помеченная, например, чернилами) будет добираться до Б еще дольше. При ν = 1 м/с время tв = 60 000 с > 16 ч. Ее скорость в данном случае аналогична скорости паровоза в нашей задаче.
Теперь вы без труда разберетесь сами в нижеследующей задаче. Заменим прямые рис. 46 режущими кромками ножниц достаточной длины (километров 100 или более). Поведение точки пересечения E режущих кромок при резании внешне вполне подобно поведению точки E рис. 46, но если ножницы режут бумагу, то точка надреза E будет уже не просто математическим понятием: в ней совершается работа по разрыванию волокон бумаги. Энергия на эту работу черпается из вашей руки. Сможет ли точка надреза перемещаться со сверхсветовой скоростью? А если не сможет, то что ей помешает?
